0 引言

　　上一篇文章讲述了BRDF、BTDF、BSDF的基本原理，也介绍了BxDF的定义式。但上一篇文章也提到了，真正决定BxDF函数值的不是入射光和出射光，而是材质和光照模型。光照模型决定了BRDF的计算公式，而材质决定了计算公式的输入参数。

　　本文的目的就是介绍几种极其经典的光照模型，体验它们计算双向分布函数的方法。（注：原书错把光照模型译作着色模型，事实上这里我们讨论的是光照模型，即如何定义光照相关的公式；而着色模型说的是计算频率与片元插值相关的事，切勿混淆）

1 光照模型

　　反射的光照模型有许多种，但大部分BRDF函数都由两部分组成，一个是漫反射项（diffuse reflection），另一个是镜面/高光反射项（specular reflection），分别用d和s来表示。对于漫反射项，其对应的BRDF值是一个定值，与入射光、出射光的方向无关，因此无论反射光照指向哪个方向，其强度都是相同的；而对于镜面反射项，其BRDF值的计算方式就各不相同了，一般可以写作g()·ks（其中g()要与入射光、出射光的方向有关）即镜面反射系数乘上一个光照模型计算出来的函数值。一般光照模型都是由上述漫反射项和镜面反射项共同构成，因此通用的BRDF公式大体可以写作如下形式：

$$f_r=g()k_s+k_d$$

　　那么接下来我们就来看几个经典的BRDF光照模型，每个模型都拥有一个不同的g()，即拥有一个不同的BRDF计算模型。在分析完公式以后，我将尝试在unity中编写对应shader，来模拟、观察当前光照模型的BRDF结果。

　　（这里可能有同学会感到疑惑，BRDF的目的是计算出射光线的属性，然而unity中用的是管线渲染而不是光线追踪，计算出射光线有什么意义呢？事实上大部分出射光线确实是没意义的，但有一根出射光线至关重要：那就是从材质表面反射到相机中的光线，这个光线所携带的颜色和强度决定了你眼中的画面。因此在unity这种管线渲染中，入射光线就是光源到材质表面的向量，而出射光线我们只计算从材质表面到相机的这根向量，方法依然是套用BRDF的定义式。这就是BRDF在非光追的管线渲染技术中的用处。）

Lambert模型

　　兰伯特反射模型可以说是BRDF光照模型的Hello World，它是一个专门针对理想化漫反射材质而设计的模型，即只存在漫反射，不存在镜面反射（即g()=0），因此其BRDF相当简单：

$$f_r=k_d=\frac{\rho_d}{\pi}$$

　　这个BRDF值说明了，反射光线强度与入射光线强度成正比，与反射角度无关。因此无论从什么角度去看材质，最后反射到相机里的光强都是一样的。

　　设入射光线向量为in，从材质射入相机的向量为out，击中点的法线为N，光线强度系数为s，那么在渲染器中入射光线的强度可以用下列算式表示：

$$L(in)=\pmb{in}·\pmb N·s$$

　　那么反射光线的强度就是：

$$L(out)=L(in)·f_r=\pmb{in}·\pmb N·s·k_d$$

　　接下来可以编写shader了。思路无非就是三步：转法线、算反射、顶点空间变换：

　　Lightness就是上述公式中涉及到的s*k_d，这里作为可调参数；在顶点着色器中，首先将模型空间的法线变换到世界空间，然后拿到灯光方向，便可套用上述L(out)的表达式计算出漫反射项强度了。接下来加一个环境光填补，然后和漫反射颜色Color进行一个混合，便得到了最简单的兰伯特光照模型：（是动图，只不过帧率有点低）

　　无论从什么视角去看，它的材质表面颜色都是不变的。这就是兰伯特模型（即纯漫反射）的效果：对于所有出射光，其能量都是相同的，都是入射光的kd倍。

Phong模型

　　从Phong模型开始，漫反射项和镜面反射项就同时存在了。其BRDF公式多了一个变量R，记录的是入射光线在材质上的镜面反射向量（不要和out混淆，out指的是从材质片元到相机的向量）。该模型的各个公式如下：

$$\pmb R=2(\pmb N · \pmb I)\pmb N -\pmb I$$

$$f_r=k_s\frac{(\pmb R·\pmb {out})^n}{\pmb N·\pmb {in}}+k_d$$

$$L(in)=\pmb{in}·\pmb N·s$$

$$L(out)=L(in)·f_r=\pmb{in}·\pmb N·s·(k_s\frac{(\pmb R·\pmb {out})^n}{\pmb N·\pmb {in}}+k_d)$$

　　镜面反射部分告诉我们，不同方向的反射光线强度一定是有区别的（不然就成均匀漫反射了），反射到相机的向量越靠近镜面反射，则显示出来的光强度越强。

　　这里公开了5个变量，Color就是默认的材质颜色，Specular对应了公式的n，ks对应ks，kd对应kd，s对应s，效果如下：

　　通过gif能清晰地看到，改变n则改变了高光区域的大小及柔和程度，改变ks则改变了高光的整体亮度，改变kd则改变了非高光区域的亮度，s控制了整体光的亮度。

Blinn-Phong模型

　　Blinn-Phong模型的特点在于，去掉了镜面反射向量R，引入了一个半程向量H，即in和out的中间向量。BRDF的公式和Phong模型很像，只是把分子中的R·out改成了N·H，即：

$$f_r=k_s\frac{(\pmb N·\pmb H)^n}{\pmb N·\pmb {in}}+k_d$$

　　思路和Phong模型没什么区别，就改动了一小部分高光项。

　　最终效果和Phong模型较为相似，所以就不单上gif了，唯一的区别就是高光部分会更加自然。

　　但是上述式子有一个很严重的问题，就是不满足亥姆霍兹互反律。虽然Blinn-Phong在管线渲染中使用颇为广泛，但是上篇文章讲到了亥姆霍兹互反律是检验BRDF模型是否符合物理学的依据之一，因此这个模型是不能称作合格的BRDF模型的。后来有人对模型进行了改进，例如去掉分母的N·in，但也不能完全解决问题。

Cook-Torrance模型

　　Cook-Torrance模型其实有点超纲了，是属于基于物理的渲染（Physically Based Rendering）那个专区的内容，因此在这里就不详细解释，直接列公式、莽shader了。它最大的特点在于使用了一种微平面模型，即假设表面由随机的小平滑平面集合组成：

　　既然有了微表面的概念，那微表面一定会引起一些遮挡现象，因此公式中需要引入几何阴影项；同时模型也考虑了上一篇文章提到的菲涅尔方程，其BRDF公式如下：

$$f_r=\frac{F(\beta)D(\theta_h)G}{\pi(\pmb N·\pmb {in})(\pmb N·\pmb {out})}+k_d$$

　　这里面F指的是菲涅尔方程，D指的是为平面分布函数，G指的是几何阴影项。接下来列出它们的式子，具体来源和推导会在pbr专区讲解：

$$F_p=\frac{\eta_2cos\theta_1-\eta_1cos\theta_2}{\eta_2cos\theta_1+\eta_1cos\theta_2}（偏振光p方向）$$

$$F_s=\frac{\eta_1cos\theta_1-\eta_2cos\theta_2}{\eta_1cos\theta_1+\eta_2cos\theta_2}（偏振光s方向）$$

$$F=\frac{|F_p|^2+|F_s|^2}{2}（非偏振光）$$

$$D(\theta_h)=\frac{1}{m^2cos^4\theta_h}e^{-(\frac{tan\theta_h}{m})^2}$$

$$G=min[1,\frac{2(\pmb N·\pmb H)(\pmb N·\pmb {out})}{\pmb{out}·\pmb H},\frac{2(\pmb N·\pmb H)(\pmb N·\pmb {in})}{\pmb{out}·\pmb H}]$$

　　在这里皮一下，把Cook-Torrance模型的BRDF函数完全展开：

$$f_r=\frac{(\frac{|\frac{\eta_2cos\theta_1-\eta_1cos\theta_2}{\eta_2cos\theta_1+\eta_1cos\theta_2}|^2+|\frac{\eta_1cos\theta_1-\eta_2cos\theta_2}{\eta_1cos\theta_1+\eta_2cos\theta_2}|^2}{2})(\frac{1}{m^2cos^4\theta_h}e^{-(\frac{tan\theta_h}{m})^2})(min[1,\frac{2(\pmb N·\pmb H)(\pmb N·\pmb {out})}{\pmb{out}·\pmb H},\frac{2(\pmb N·\pmb H)(\pmb N·\pmb {in})}{\pmb{out}·\pmb H}])}{\pi(\pmb N·\pmb {in})(\pmb N·\pmb {out})}+k_d$$

　　事实上这一坨式子很难编程，例如菲涅尔公式中的偏振状况和折射率求解都不是很方便，因此我们可以对公式进行一点小的简化：

$$F=F_0+(1-F_0)(1-(\pmb out·\pmb H))^5$$

　　为了便于编程，继续把D中的三角函数换成向量表达的形式：

$$D=\frac{1}{4m^2(\pmb N·\pmb H)}e^{\frac{(\pmb N·\pmb H)^2-1}{m^2(\pmb N·\pmb H)^2}}$$

　　接下来可以编程了。但是事实上它的效果和pbr的相似度比较高，大家可以直接观察unity默认的standard材质效果即可，所以也就不放代码和效果图了、

2、渲染方程

　　回到之前的问题，为什么我们没有满足于简单光照几何模型，而深入到真实物理层面去分析光线属性呢？这是因为我们要对整个光照环境做一个完整、准确的度量。只有光照环境处处符合物理学，才能完成最真实的渲染效果，这就是我们研究全局光照的目的。而渲染方程，本质上就是光照学中的能量守恒定律，只要根据渲染方程来计算光线的性质，一定能得到最符合真实世界的环境渲染。

　　前面我们介绍了一些基础的辐射学公式，以及新引入了BxDF的概念，有了这些基础，我们便可以快速推出强大的渲染方程了。事实上，渲染方程也有不同的形式，主要取决于如何定义入射光的来源。下面将介绍几种经典的渲染方程。

半球形公式

　　半球形公式考虑的是：对于点x，入射光来源于以该点为球心的上半球。我们知道从x点发出的光线可以包括两部分内容：一部分是自发光发出来的，另一部分就是入射光的反射。因此我们的出射亮度可以写作这个形式：

$$L(x→out)=L_e(x→out)+L_r(x→out)$$

　　根据BRDF的定义，可以得到：

$$f_r(x,in→out)=\frac{dL_r(x→out)}{dE(x←in)}$$

$$L_r(x→out)=\int_\omega^\omega f_r(x,in→out)L(x←in)cos(N,in)d\omega$$

　　两个式子合在一起，就成为了最终的渲染方程：

$$L(x→out)=L_e(x→out)+\int_\omega^\omega f_r(x,in→out)L(x←in)cos(\pmb N,\pmb {in})d\omega$$

区域公式

　　区域公式换了一个思路：对于点x，其入射光的来源是场景中所有可见的物体表面。因此该公式本质上是对该点可见的所有表面上出射光的积分，用它来直接替代球面积分。

　　根据区域公式的定义，对于被照射点x与任意表面上的任意点y，首先要计算它们之间的“可见性”。如果可见，那么积分就需要包括y点，否则就不包括。我们可以用一个布尔类型的函数V(x,y)来表示可见性，若可见则V(x,y)=1，若不可见则V(x,y)=0。

　　此外，我们知道x点的入射光就是y点的出射光，因此：

$$L(x←in)=L(y→-in)$$

　　既然现在不是半球形公式了，那么原本立体角的含义也有所改变：

$$d\omega=d\omega_{x←dA_y}=cos(\pmb {N_y},-\pmb {in})\frac{d\pmb{A_y}}{r_{xy}^2}$$

　　把上述式子代入到原先的半球形公式中，新的渲染方程即为：

$$L(x→out)=L_e(x→out)+\int_A^A f_r(x,in→out)L(y→-in)V(x,y)cos(\pmb N,\pmb {in})cos(\pmb {N_y},-\pmb {in})\frac{dA_y}{r_{xy}^2}$$

直接照明与间接照明

　　直接照明指的是光从光源直接照到材质表面，间接照明指的是光在场景中经过反射若干次后照到材质表面。经验表明，当考虑直接光的时候，区域公式更有效；考虑间接光的时候，半球形公式更有效。可以这样去想这件事：直接光一定是从光源发出来的、没有经过反射的，因此其来源一定是光源，我们可以很轻松找到光源并在其表面区域上进行积分；而对于间接光，由于其光线经过反射，因此很难找到其来源，所以只能使用半球形公式。于是我们可以把渲染方程进行分解：

$$L(x→out)=L_e(x→out)+L_r(x→out)$$

$$L(x→out)=L_e(x→out)+L_{direct}+L_{indirect}$$

　　将两者的渲染方程直接代入：（因为公式太长所以分行写了）

$$L(x→out)=L_e(x→out)+$$

$$\int_A^A f_r(x,in→out)L(y→-in)V(x,y)cos(\pmb N,\pmb {in})cos(\pmb {N_y},-\pmb {in})\frac{dA_y}{r_{xy}^2}+$$

$$\int_\omega^\omega f_r(x,in→out)L(x←in)cos(\pmb N,\pmb {in})d\omega$$

　　如此便得到了一个考虑情况更加周全、更加好用的渲染方程。